Materi Eksponen 🌌✨

Pengertian Eksponen

Eksponen adalah bentuk dari sebuah bilangan yang dikalikan dengan bilangan yang sama berulang kali. Dengan kata lain bilangan eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang, atau kamu bisa menyebut eksponen adalah pangkat yang menunjukkan nilai derajat kepangkatan.

Kesimpulannya eksponen adalah suatu bentuk perkalian dengan bilangan yang sama kemudian di ulang-ulang.

Bentuk Umum Eksponen

Definisi eksponen juga bisa dibuat dalam bentuk rumus matematika. Seperti disebutkan sebelumnya, eksponen adalah bentuk perkalian dari suatu bilangan yang dilakukan berulang kali.

Sehingga, jika dituliskan dalam bentuk rumus, bentuk umum eksponen adalah sebagai berikut:

Jika dijabarkan, bagian-bagian dari bentuk umum rumus eksponen adalah:
Di mana a adalah bilangan real dan n bilangan asli.
$a =$ bilangan pokok atau basis
$n =$ besar pangkat

Sifat-sifat Eksponen

Ada 8 sifat eksponen yang perlu kamu ketahui. Sifat-sifat ini nantinya akan membantu kamu menyelesaikan kumpulan soal eksponen. Sifat-sifat eksponen adalah sebagai berikut:

1. Pangkat Penjumlahan

Apabila suatu bilangan yang sama dengan pangkat yang berbeda dikalikan, maka pangkat akan ditambah.
Contoh: $4^{3} \times 4^{2} = 4^{3+2} = 4^{5} = 1024$

2. Pangkat Pengurangan

Apabila suatu bilangan yang sama dengan pangkat yang berbeda dibagi, maka pangkat akan dikurangi.
Contoh: $4^{3} \div 4^{2} = 4^{3-2} = 4^{1} = 4$

3. Pangkat Perkalian

Jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan dengan bilangan lain, maka pangkat akan dikalikan. Dengan kata lain, jika ada di dalam bentuk kurungan, maka pangkat di dalam kurungan dapat dikalikan dengan pangkat di luar kurungan.
Contoh: $(4^{3})^{2} = 4^{3 \times 2} = 4^{6} = 4096$

4. Perkalian Bilangan yang Dipangkatkan

Apabila suatu bilangan yang sama dengan pangkat yang berbeda dibagi, maka pangkat akan dikurangi.
Contoh: $4^{3} \div 4^{2} = 4^{3-2} = 4^{1} = 4$

5. Pangkat pada Bilangan Pecahan

Hal yang sama berlaku juga jika bilangan dalam kurungan eksponen adalah pecahan atau pembagian. Maka, penyebut dan pembilang memiliki pangkat yang sama. Dengan catatan, penyebut tidak boleh sama dengan 0.
Contoh: $(\frac{4}{2})^{2} = \frac{4^{2}}{2^{2}} = \frac{16}{4} = 4$

6. Pangkat Negatif

Maksud dari sifat ini dalam eksponen adalah jika suatu penyebut bernilai positif, kemudian ingin dipindahkan ke atas, maka pangkat dari penyebut tersebut akan bernilai negatif. Begitu juga sebaliknya.
Contoh: $\frac{1}{4^{2}} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$

7. Pangkat Pecahan

Dalam bentuk akar seperti ini, bentuk bilangan dapat disederhanakan menjadi pangkat berbentuk pecahan. Dengan n sebagai penyebut dan m sebagai pembilang. Dengan catatan, nilai n harus lebih besar atau sama dengan 2.
Contoh: $\sqrt[2]{3^{4}} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2} = 9$

8. Pangkat Nol

Setiap bilangan berpangkat nol dalam eksponen adalah bernilai satu. Dengan catatan nilai a tidak boleh sama dengan nol.

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan bilangan berpangkat yang memiliki variabel di bagian pangkatnya.

Karena memuat variabel, maka pangkat pada persamaan eksponen adalah sebuah fungsi. Sehingga, dalam rumusnya dituliskan sebagai $f(x)$ atau $g(x)$.
Salah satu contoh bentuk persamaan eksponen adalah $5^{2x-4} = 5^{2}$

Bentuk umum peramaan eksponen

Karena itu, bentuk umum persamaan atau rumus eksponen dituliskan sebagai berikut:

Dengan a adalah bilangan pokok atau basis. Serta $f(x)$ dan $g(x)$ adalah pangkat atau eksponen.

Ciri utama dari persamaan eksponen adalah keberadaan variabel pada bagian pangkatnya. Sehingga, kalau variabel tidak berada pada bagian pangkat, persamaan tersebut tidak bisa disebut sebagai persamaan eksponen.

Sifat Persamaan Eksponen

Bentuk persamaan eksponen bisa sangat bervariasi. Karena itu, kamu bisa menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen agar lebih mudah menyelesaikan permasalahan terkait materi persamaan eksponen.

Beberapa sifat persamaan eksponen adalah sebagai berikut:

1. Untuk $a^{f(x)} = a^{k}$ dengan a > 0 dan a ≠ 1, berlaku $f(x) = k$

Jika basisnya sama, maka nilai pangkat basis pertama akan sama dengan pangkat basis kedua. Perhatikan contoh berikut:

2. Untuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ dengan a > 0 dan a ≠ 1, berlaku $f(x) = g(x)$

Pada dasarnya, sifat kedua ini sama dengan sifat pertama. Hanya saja, kedua pangkatnya berupa fungsi x. Perhatikan contoh berikut:

3. Untuk $a^{f(x)} = b^{f(x)}$ dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, dan b ≠ 1 berlaku $f(x) = 0$

sifat ketiga ini berlaku jika basisnya tidak sama, namun bentuk eksponennya sama. Perhatikan contoh berikut:

4. Untuk $a^{f(x)} = 1$ dengan a > 0 dan a ≠ 1, berlaku $f(x) = 0$

Pada dasarnya, sifat ini sama saja dengan sifat kesamaan eksponen biasa. Hanya saja, pangkat di salah satu ruasnya berupa fungsi x, sedangkan pangkat di ruas lainnya bernilai 0 (karena $1 = a^{0}$). Perhatikan contoh berikut:

Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk pertidaksamaan eksponen adalah terbagi menjadi dua. Yaitu jika bilangan pokok lebih dari satu dan jika bilangan pokok lebih dari nol namun kurang dari 1. Untuk masing-masing kondisi, bentuk pertidaksamaan eksponen adalah sebagai berikut:

1. Bilangan pokok lebih dari 1 ($a > 1$)
   Untuk setiap $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ berlaku $f(x) < g(x)$
2. Bilangan pokok berada di antara nol dan 1 ($0 < a < 1$)
   Untuk setiap $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ berlaku $f(x) > g(x)$

Sifat Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen juga memiliki beberapa sifat yang dapat membantu kamu menyelesaikan soal dengan mudah. Sifat-sifat ini juga terbagi menjadi dua kelompok sesuai dengan kondisi yang telah dijabarkan sebelumnya.

1. Untuk $a \ge 1$

Untuk setiap $a \ge 1$, sifat yang berlaku untuk pertidaksamaan eksponen adalah:

2. Untuk $0 < a < 1$

Kemudian, untuk setiap $a > 0$ dan $a < 1$, sifat yang berlaku untuk pertidaksamaan eksponen adalah:

Contoh Soal

Diberikan pertidaksamaan eksponen sebagai berikut: $5^{3x-6} < 25$

Berapakah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Jawab: